Generalidades Números Naturales y Números Enteros

Introducción a los números y las operaciones

En matemáticas, un número natural (designado por ℕ) es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto.

Es todo número perteneciente a la serie ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …} formada por todos los números que, a partir del cero (o ausencia de elemento), el uno inicia y sin término medio.

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

Definición sin el cero:             ℕ = {1, 2, 3 ,4, ...}  Definición con el cero:             ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

donde la ℕ de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".

Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península ibérica,  pero no se consideraba un número natural.

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina, y otras, como la teoría de la computación. En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición. Sin embargo, en la actualidad ambos convenios conviven.   

Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si no se incluye el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota como ℕ*. Alternativamente también se utiliza ℕ - {0}.

Por el contrario, cuando el 0 se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en divisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números cardinales y se lo denota ℕ₀.

Algunas características de los números naturales son:

1. Todo número mayor que 1 (o mayor que 0 en caso de considerar el 0 como natural) va después de otro número natural.
2. Entre dos números naturales siempre hay un número finito de naturales. (Interpretación de conjunto no denso)
3. Dado un número natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que éste. (Interpretación de conjunto infinito).

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple

1. Para cada y ∈ x, y ⊆ x
2. La relación ∈_x = {(a, b) ∈ x • x | a ∈ b} es un orden total estricto en x
3. Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden ∈_x

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que ∅no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

Se define -según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n⁺. Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

0 = ∅

n⁺ = n ∪ {n}

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:

• Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
• 1 es el sucesor de 0, entonces 1 = 0⁺ = ∅ ∪ {0} = {0}
• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces 2 = 1⁺ {0} ∪ {1} = {0, 1} .
• y en general

3 = {0, 1, 2}

4 = {0, 1, 2, 3}

5 = {0, 1, 2, 3, 4}

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión:

a ≤ b ⇔ a ⊆ b

es decir que un número a es menor o igual que b si y solo si b contiene a todos los elementos de a.

También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así a < b si y solo si a ∈ b.

Esa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si A es un conjunto inductivo, entonces ℕ ⊆ A. Esto significa que, en efecto, ℕ es el mínimo conjunto inductivo.

Se define la suma por inducción mediante:

a + 0 = a

a + b⁺ = (a × b) + a

Lo que convierte a los números naturales (ℕ, +) en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo ma

De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones:

a × 0 = 0

a × b⁺ = (a × b) + a

Esto convierte (ℕ, ×) (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.

Otra forma de construcción de ℕ es la siguiente: Sea ℱ la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera: Dados A y B ∈ ℱ se dice que A R B ↔ Existe una aplicación biyectiva de A sobre B,es decir, existe f : A → B biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente ℱ/R = {[A]/A ∈ ℱ} los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que (ℕ, +, ×) sea unsemianillo conmutativo y unitario.

ver más

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:

• El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a + b = b + a, y a × b = b × a.

• Para sumar —o multiplicar— tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica ya que (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a + b + c.

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:

• Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales.
• Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.
• No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0.

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:

• El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a + b = b + a, y a × b = b × a.

• Para sumar —o multiplicar— tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica ya que (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a + b + c.

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:

• Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales.
• Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.
• No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0.

Propiedades de los números naturales

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:

a + c ≤ b + c

a × c ≤ b × c

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado

1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b ≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:

a = (b × q) + r y r < b

Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

Conceptos globales y de estructura

• Algebraicamente, el conjunto ℕ = {0, 1, 2, ... n, ...} es un semigrupo aditivo asociativo con elemento neutro 0 y semigrupo multiplicativo asociativo con elemento neutro 1.

• Topológicamente, ℕ tiene la topología cofinita.

• El cardinal de ℕ es menor que el cardinal de ℝ.

Uso de los números naturales

• Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros, para lo cual en N × N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N × N:

(a, b) ~ (c, d) ↔ a + d = b + c.
Sustracción o resta con números naturales
Proposiciones

• Si m - n = p, entonces m - p = n

• Si m - n = p, entonces (m + r) - (n + r) = p

• Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0;

• como m - 0 = m, 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha.

• La resta no es conmutativa ni asociativa.

• Si se da m - n = p, existe una infinidad de números naturales m´ y n´ tal que m´ - n´ = p; de modo tal que enℕ × ℕ la relación (m, n) ≈ (m´ ,n´) ↔ m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para la construcción del ℤ de los números enteros.

Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.

Curiosidades sobre el número KAPREKAR,  la rutina de  KAPREKAR